Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV) adalah suatu sistem persamaan matematika yang terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel yang sama. SPLDV dapat dinyatakan sebagai:
ax + by = c
dx + ey = f
di mana a, b, c, d, e, dan f adalah konstanta dan x serta y adalah variabel. Persamaan ini sangat umum dijumpai dalam matematika, fisika, teknik, ekonomi, dan berbagai bidang lain.
SPLDV memiliki banyak sekali aplikasi, mulai dari menghitung persamaan gerak benda, hingga perencanaan dan pengelolaan ekonomi. Oleh karena itu, SPLDV menjadi sangat penting dan relevan dalam kehidupan sehari-hari.
Poin Utama
- SPLDV adalah sistem persamaan matematika yang terdiri dari dua persamaan linear dengan dua variabel yang sama.
- SPLDV digunakan dalam berbagai bidang, seperti matematika, fisika, teknik, ekonomi, dan lain-lain.
- SPLDV dapat dipecahkan dengan menggunakan metode grafik, eliminasi Gauss, dan eliminasi Gauss-Jordan.
Cara Grafik Memecahkan SPLDV
Cara grafik merupakan metode paling mudah dan sederhana untuk memecahkan SPLDV. Metode ini melibatkan pembuatan grafik dari kedua persamaan linear dengan dua variabel yang sama, x dan y. Perpotongan kedua grafik tersebut adalah solusi dari SPLDV.
Proses Pengerjaan
- Tentukan nilai x pada setiap persamaan linear dan gambar grafik.
- Temukan titik perpotongan kedua grafik.
- Titik perpotongan merupakan solusi dari SPLDV.
Contoh
Solve SPLDV berikut dengan menggunakan metode grafik.
3x + 4y = 6
2x – 3y = 12
Jawab
Mencari nilai x dan y, kita perlu membuat grafik dari kedua persamaan tersebut, seperti gambar di bawah ini:
Dari gambar tersebut kita bisa melihat bahwa titik perpotongan antara grafik pertama dan kedua terletak di (3, -2). Maka solusi SPLDV di atas adalah x = 3 dan y = -2.
Cara Eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan Memecahkan SPLDV
Selain metode grafik, SPLDV juga dapat dipecahkan menggunakan metode eliminasi Gauss. Metode ini melibatkan eliminasi variabel dari kedua persamaan sehingga didapat solusi SPLDV.
Proses Pengerjaan
- Menulis SPLDV ke dalam bentuk matriks.
- Menambahkan atau mengurangi baris matriks untuk menghasilkan nol di tempat yang diinginkan.
- Menyelesaikan kembali matriks menjadi SPLDV.
- Mencari nilai variabel dengan hasil yang telah didapat.
Sedangkan metode Gauss-Jordan melibatkan proses yang sama dengan eliminasi Gauss. Yang membedakan adalah metode Gauss-Jordan memperoleh solusi SPLDV dalam bentuk yang lebih sederhana.
Contoh
Solve SPLDV berikut dengan menggunakan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.
2x + 3y = 7
4x – 5y = -7
Penyelesaian
Berikut ini adalah pengerjaan SPLDV menggunakan metode eliminasi Gauss:
2 3 | 7
4 -5 |-7
2 3 | 7
0 -11|-21
2 3 | 7
0 11 |-21
2 3 | 7
0 1 |-1.9
2 0 | 10.7
0 1 |-1.9
Solusinya adalah x = 5.35 dan y = -1.9.
Sedangkan berikut ini adalah pengerjaan SPLDV menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan:
2 3 | 7
4 -5 |-7
1.0 1.5 | 3.5
0.0 1.0 |-1.9
1.0 0.0 | 5.35
0.0 1.0 |-1.9
Solusinya tetap x = 5.35 dan y = -1.9.
Kesimpulan
SPLDV merupakan sistem persamaan matematika yang sangat penting dan relevan dalam kehidupan sehari-hari. SPLDV digunakan di berbagai bidang, seperti matematika, fisika, teknik, dan ekonomi. Metode untuk memecahkan SPLDV termasuk metode grafik, eliminasi Gauss, dan eliminasi Gauss-Jordan.
FAQ
Apa itu persamaan linear?
Persamaan linear adalah persamaan matematika yang dapat ditulis dalam bentuk y = mx + b, di mana y adalah variabel dependen, x adalah variabel independen, m adalah koefisien kemiringan, dan b adalah konstanta.
Apa itu eliminasi Gauss?
Eliminasi Gauss adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan SPLDV dengan menukar, mengurangi, atau menambahkan baris matriks.
Apa bedanya eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan?
Eliminasi Gauss menghasilkan beberapa baris matriks sebelum solusinya ditemukan, sementara eliminasi Gauss-Jordan menghasilkan matriks yang sudah disusun dalam bentuk yang lebih sederhana.
Siapa yang menemukan SPLDV?
Ibn Qurra (825-901) adalah matematikawan Arab yang dianggap sebagai orang pertama yang menemukan SPLDV. Namun, kemudian, matematikawan Eropa seperti Cramer, Gauss, dan Jordan juga memberikan kontribusi mereka dalam pengembangan metode penyelesaian SPLDV modern.