Sistem persamaan linier adalah topik dasar dalam matematika yang sering digunakan dalam berbagai bidang, dari teknik sipil hingga ilmu ekonomi. Dalam artikel ini, kami akan membahas sistem persamaan linier dari segala sudut pandang, dan juga memberikan contoh kasus dan bagaimana menyelesaikannya.
Poin Utama:
- Sistem persamaan linier adalah kumpulan dari beberapa persamaan linier yang sama-sama memiliki beberapa variabel.
- Sistem persamaan linier terdapat dalam berbagai bidang, mulai dari teknik sipil hingga ilmu ekonomi.
- Sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan berbagai metode, sedangkan contoh kasus berguna bagi seseorang untuk memahami sistem persamaan linier dan setiap variabel yang ada.
Pengenalan
Sistem persamaan linier adalah sekelompok persamaan linear yang saling berhubungan dan memiliki beberapa variabel. Adapun bentuk umum sistem persamaan linier adalah sebagai berikut:
a11x1 + a12x2 + a13x3 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 + … +a2nxn = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 + … +a3nxn = b3
…
am1x1 + am2x2 + am3x3 +…+amnxn= BM
Berikut merupakan matriks sistem persamaan linier tersebut:
begin{bmatrix} a11 & a12 & a13 & … & a1n a21 & a22 & a23 & … & a2n a31 & a32 & a33 & … & a3n … & … & … & … & …am1 & am2 & am3 &…& amn end{bmatrix}
Dalam tabel ini, variabel x¹ hingga xn mewakili semua kemungkinan solusi dan biji bilangan b1 hingga bm menggambarkan hasil dari persamaan.
Penyelesaian
Metode Gauss merupakan metode penyelesaian sistem persamaan linier yang paling sering digunakan. Dalam metode ini, persamaan orisinil diubah menjadi bentuk matriks dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan.
Metode Eliminasi Gauss
Terlebih dahulu, tabel atau matriks dari sistem persamaan akan dimodifikasi menjadi bentuk matriks memanjang dimana varibel variabel x berupa kolom dan setiap persamaan berada di sebuah baris:
begin{bmatrix} a11 & a12 & a13 & … & a1n & b1 a21 & a22 & a23 & … & a2n & b2 a31 & a32 & a33 & … & a3n & b3 … & … & … & … & … & …am1 & am2 & am3 &…& amn & bm end{bmatrix}
Setelah itu, dilakukan pengurangan antara baris matriks untuk menghasilkan bentuk matriks baru seperti berikut:
begin{bmatrix} a11^{‘} & a12^{‘} & a13^{‘} & … & a1n^{‘} & b1^{‘} 0 & a22^{‘} & a23^{‘} & … & a2n^{‘} & b2^{‘} 0 & a32^{‘} & a33^{‘} & … & a3n^{‘} & b3^{‘} … & … & … & … & … & … & am2^{‘} & am3^{‘} &…& amn^{‘} & Bm^{‘} end{bmatrix}
Diatas, diagonal utama telah menghasilkan 1 yang disebut dengan matriks segitiga. Pengolahan selanjutnya adalah dengan menghasilkan matriks segitiga atas dari matriks segitiga tersebut.
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Metode ini merupakan perluasan dari metode eliminasi gauss sebab hampir sama-sama mengubah sistem persamaan tersebut ke dalam bentuk matrik, kemudian menghilangkan beberapa elemen tertentu, hingga akhirnya menghasilkan matriks yang diinginkan. Pada metode Gauss-Jordan, elemen antara-diagonal dengan diagonal utama setidaknya menjadi satu.
Solusi persamaannya dapat dicari dengan cara mengubah sistem persamaan linear sebagai bentuk matriks augmented, kemudian dilakukan operasi elementary row sehingga matriks tereduksi menjadi matriks echelon atau bentuk matriks seperti dibawah:
begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & | & a_{11}^{-1}a_{12} & a_{11}^{-1}a_{13} &… & a_{11}^{-1}b_{1}
0 & 1 & 0 & | & a_{22}^{-1}a_{23} & … & … & a_{22}^{-1}b_{2}
0 & 0 & 1 & | & a_{33}^{-1}a_{34} & … & … & a_{33}^{-1}b_{3}
… &…&…&…&…&…&…&…
0 & 0 & 0 & | & 0 & 0 &… & 0 \end{bmatrix}
Contoh Kasus
Mari kita lihat contoh sistem persamaan linier dan cara menyelesaikannya menggunakan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.
Contoh Kasus 1
Misalkan terdapat sistem persamaan linier seperti berikut:
2x + 3y = 5
4x – 5y = -8
Dalam kasus ini, kita menggunakan metode eliminasi Gauss:
begin{bmatrix}2 & 3 & | & 5 4 & -5 & | & -8 \end{bmatrix}
Setelah itu, kita mengurangkan baris kedua dengan hasil perkalian baris pertama dengan 2:
begin{bmatrix}2 & 3 & | & 5 & -11 & | & -18 \end{bmatrix}
Dan pada kesempatan ini, kita menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan:
begin{bmatrix}2 & 3 & | & 5 4 & -5 & | & -8 \end{bmatrix}
Tambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua:
begin{bmatrix}2 & 3 & | & 5 & -11 & | & -18 \end{bmatrix}
Kita bagi baris kedua dengan -11 dan kemudian pertimbangkan baris-kolom yang diidentifikasi:
begin{bmatrix}2 & 3 & | & 5 & 1 & | & 18/11 \end{bmatrix}
Kita tambahkan -3 kali baris kedua ke baris pertama:
begin{bmatrix}2 & 0 & | & 23/11 & 1 & | & 18/11 \end{bmatrix}
Akhirnya, kita mendapatkan hasil sistem persamaan linier yaitu:
x = 23/22
y = 18/11
Contoh Kasus 2
Misalkan terdapat sistem persamaan linier seperti berikut:
3x + 2y + 4z = 1
2x + 3y + 4z = 2
2x + 2y + 3z = 3
Setelah kita membentuk matriks dari persamaan, matriksnya menjadi seperti ini:
begin{bmatrix} 3 & 2 & 4 & | & 1 2 & 3 & 4 & | & 2 2 & 2 & 3 & | & 3 \end{bmatrix}
Mari kita gunakan metode eliminasi Gauss-Jordan:
Tambahkan -2 kali baris pertama ke baris kedua, dan kemudian tambahkan -2 kali baris pertama ke baris ketiga:
begin{bmatrix}3 & 2 & 4 & | & 1 & 5/3 & 4/3 & | & 4/3 & 2/3 & -1 & | & 5/3 \end{bmatrix}
Tambahkan -2 kali baris kedua ke baris pertama, dan kemudian tambahkan -2/5 kali baris kedua ke baris ketiga:
begin{bmatrix}1 & 0 & 8/5 & | & -1/5 & 5/3 & 4/3 & | & 4/3 & 0 & -14/5 & | & 2/5 \end{bmatrix}
Tambahkan -3/7 kali baris ketiga ke baris kedua dan kemudian diberi label t:
begin{bmatrix}1 & 0 & 8/5 & | & -1/5 & 5/3 & 0 & | & 26/35 & 0 & 1 & | & -1/7 \end{bmatrix}
Tambahkan -8/5 kali baris ketiga ke baris pertama dan kemudian diberi tanda s:
begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & | & -3/7 & 5/3 & 0 & | & 26/35 & 0 & 1 & | & -1/7 \end{bmatrix}
Maka, sistem persamaan linier diatas memiliki solusi:
x = -3/7y = 26/35z = -1/7
Kesimpulan
Dalam artikel ini, kami membahas sistem persamaan linier dari segala sudut pandang, termasuk pengenalan, penyelesaian, serta contoh kasus. Kita juga menutupi beberapa metode umum yang dapat digunakan dalam menyelesaikan sistem persamaan linier. Dalam penyelesaian contoh kasus, kita menggunakan metode eliminasi Gauss dan Gauss-Jordan.
FAQs
Q: Apakah sistem persamaan linier hanya digunakan dalam teknik sipil atau ilmu ekonomi saja?
A: Tidak, sistem persamaan linier dapat ditemukan dalam semua bidang mulai dari teknik sipil, keuangan, kimia, statistik, dll.
Q: Bagaimana metode-metode lain yang dapat digunakan dalam penyelesaian sistem persamaan linier?
A: Selain metode eliminasi Gauss, terdapat metode invers dan penyelesaian berbasis Matriks.
Q: Persamaan linear itu apa?
A: Persamaan linear adalah persamaan yang memuat variabel dengan pangkat tertinggi bernilai 1.
Q: Kenapa sistem persamaan linier penting?
A: Sistem persamaan linier penting karena banyak digunakan dalam berbagai bidang untuk menyelesaikan masalah praktis.
Q: Bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linier dengan variabel yang lebih banyak?
A: Metode penyelesaian yang digunakan dalam sistem persamaan linier dengan lebih dari tiga variabel adalah menggunakan Ivers matrix.